逆像法2－夏期講習2日目

講習2日目。

[1]線形計画法
・まず先立って条件付き2変数関数の最大最小の基本例題として，「x+y=1のときx^2+y^2の最小値？」を確認。1文字消去（順像法）。逆像法でもやってみる。代数世界から幾何世界にうつると，直線と円が共有点をもつ，と言い換えられる。中心と直線の距離を立式して解決する。
・これをふまえて線形計画法。x,yが不等式f(x,y)≦0を満たすとき，2変数関数g(x,y)の値域を求める。よく教科書や問題集でも「g(x,y)=kとおく」から始まる解説がなされるが，「=kとおく」が解法暗記的というか，そもそもなぜ=kとおくのかを，逆像法であるという統一始点で解説し生徒の理解を得ておきたい，と考えている。g(x,y)=kをとり得るとする。f(x,y)≦0かつg(x,y)=kを満たす(x,y)が存在する。幾何世界にうつって，領域と直線（問題によっては円）が共有点をもつ。線形計画法も逆像法であるという視点で整理しておきたい。=kとおくときのkは，1日目に扱った動点の軌跡における(X,Ｙ)とおいたX,Yと同じ文字定数であるという理解に達しておきたい。

[2]関数y=f(x)の値域
・y=(1次式)/(2次式)という分数関数の値域を考える。理系生で商の微分とlimを用いて順像法でも解決するが，本講座の趣旨とははずれる。
・具体的な値で実験すると，分母を払って得られるxについての2次方程式に実数解があるかどうかで○×判定ができる。
・これを一般化。y=Yをとり得るとする。Y=f(x)（これはもはや関数の式ではなく，xについての方程式である，Yは文字定数）とし，分母を払って整理。ただし分母を払う操作は同値性を崩しかねない。A=C/B⇔AB=CはB≠0のときであるので，(分母)≠0を断ってから分母を払う。
・得られた方程式は2次方程式かどうか確定していない。「先頭の文字定数に注意」
・Y=0のとき（レアケース）はxについての1次方程式となって解ける。これで分かったことは，0は値域内である，ということ。ここもしっかり生徒の理解を得たいところ。
・Y≠0のときは判別式が0以上で解決。ただしここで得られたYの範囲から，この場合分けで分かる値域にする際には，0を除外しておくことに注意。場合分けを閉じて，値域を答える際に，0を含めることになる。